Abi 2013

ELEARNING - FREIBURG

Abi Prüfungen - Mathematik

2013 - Wahlteil Analysis A 2

Lösung der Aufgaben A 2.1 a und b

Aufgabe A 2.1

Ein zunächst leerer Wassertank einer Gärtnerei wird von Regenwasser gespeist. Nach Beginn eines Regens wird die momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion r mit

r(t)=10000·(e^-0,5t-e^-t); 0≤t≤12

beschrieben (t in Stunden seit Regenbeginn, r(t) in Liter pro Stunde).

a) Bestimmen Sie die maximale momentane Zuflussrate.
In welchem Zeitraum ist diese Zuflussrate größer als 2000 Liter pro Stunde?
Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab?

(6 VP)

b) Wie viel Wasser befindet sich drei Stunden nach Regenbeginn im Tank?
Zu welchem Zeitpunkt sind 5000 Liter im Tank?

(3 VP)

c) Zur Bewässerung von Gewächshäusern wird nach 3 Stunden begonnen, Wasser aus dem Tank zu entnehmen. Daher wird die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Tank ab diesem Zeitpunkt durch die Funktion w mit

w(t)=r(t)-400; 3≤t≤12

beschrieben (t in Stunden seit Regenbeginn, w(t) in Liter pro Stunde).
Wie viel Wasser wird in den ersten 12 Stunden nach Regenbeginn entnommen?
Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Wassermenge im Tank ab?
Bestimmen Sie die maximale Wassermenge im Tank.

(4 VP)

Aufgabe A 2.2

Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=sin(π·x) für 0≤x≤1.
Der Graph von f begrenzt mit der x-Achse eine Fläche mit Inhalt A.
Berechnen Sie A exakt.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion g zweiten Grades schneidet die x-Achse bei x=0 und x=1 und schließt mit der x-Achse eine Fläche ein, deren Inhalt halb so groß wie A ist.
Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von g.

(4 VP)

Lösung der Aufgabe A 2.1 c

Lösung der Aufgabe A 2.2